Funcții injective

f:A→B

1. f este injectivă pe A ⟺ (∀) x₁,x₂∈A cu x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂)
2. f este injectivă pe A ⟺ (∀) x₁,x₂∈A cu f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂  
3. f este injectivă pe A ⟺ f este strict monotonă pe A
4. O funcție f este injectivă pe A dacă orice paralelă dusă la axa Ox prin punctele codomeniului intersectează Gf în cel mult 1 punct.

Exemple

1) 𝑓 : ℕ → ℕ , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 este injectivă.

2) 𝑔 : ℤ → ℕ , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 nu este injectivă.

3) 𝑓 : ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑥 este injectivă.

Funcții surjective

f:A→B

1. f este surjectivă pe A ⟺ (∀) y∈B, (∃) x∈A a.î. f(x)=y
2. f este surjectivă pe A ⟺ Im f=B ( F(A)=B )
3. O funcție f este surjectivă pe A dacă orice paralelă dusă la axa Ox prin punctele codomeniului intersectează Gf în cel puțin 1 punct.

Exemple

1) 𝑓 : ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0) este surjectivă.

2) 𝑓 : ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 nu este surjectivă

Funcții bijective

f:A→B

1. O funcție f este bijectivă pe A ⟺  f este injectivă pe A și surjectivă pe A

O funcție f este bijectivă pe A dacă orice paralelă dusă la axa Ox prin punctele codomeniului intersectează Gf într-un singur punct.

Exemple

Funcția sinus

Funcții inversabile

f:A→B    o funcție bijectivă

•  f este inversabilă pe A ⟺ f este bijectivă pe A

             f:A→B

            f^-1:B→A

Pentru aflarea inversei unei funcții procedăm astfel :

• Arătăm că funcția f este bijectivă
• Rezolvăm ecuația f(x)=y și aflăm pe x în funcție de y

f^-1(y)= rezultatul obținut pentru x

f^-1(x) înlocuim y cu x

Exemple

Funcția arcsinus

1. Funcția putere cu exponent natural

• f:A→B, f(x)= xⁿ, n∈N* se numește funcția putere cu exponent natural

1. n=nr. par, n=2K, K∈N

a. K=0 => n=0 => f: ℝ→ ℝ, f(x)=x⁰=1, funcție constantă

b. K=1 => n=2 ,  f: ℝ → [0,∞), f(x)=x²

Proprietățile funcției:

1. A= ℝ ; B=[0,∞)
2. Gf Ⴖ O_x= { O(0,0) } Gf Ⴖ O_y= { O(0,0) }
3. f(x) ≥ 0, (∀) x Î ℝ
4.  f este descrescătoare pentru x ∈ (-∞, 0] f este crescătoare pentru x ∈ [0,∞)
5.  f este funcție pară pe ℝ
6.  f nu este periodică pe ℝ
7.  f este convexă pe ℝ
8.  f nu este injectivă pe ℝ
9.  f este surjectivă pe ℝ
10. f  nu este bijectivă pe ℝ
11. f : [0,∞) → [0,∞), f(x)=xⁿ, n ≥2, n=nr. par
12. este funcție bijectivă => f este inversabilă pe [0,∞)

f^-1 : [0,∞) → [0,∞), f^-1(x)=^2K√x funcția radical de ordin 2K

2. n=nr. impar; n=2K+1, K ∈ ℕ

a. K=0 => f : ℝ → ℝ, f(x)=x

b. K=1 => n=2∙1+1=3

f : ℝ → ℝ, f(x)= x³

1. A=ℝ, B=ℝ
2. Gf Ⴖ O_X = { O(0,0) } Gf Ⴖ O_y= { O(0,0) }
3. f(x) ≥ 0 pentru x ≥ 0 f(x) ≤ 0 pentru x ≤ 0
4. f este crescătoare pe ℝ
5. f este impară pe ℝ
6. f nu este periodică pe ℝ
7. f este injectivă pe ℝ
8. f este surjectivă pe ℝ
9. f este bijectivă pe ℝ
10. f este inversabilă pe ℝ

f ^-1 : ℝ → ℝ, f^-1= ^2K+1√x, funcția radical de ordin 2K+1

2. Funcția radical

f:A → B, f(x)= ⁿ√x n ∈ N* se numește funcția radical de ordin n ;

1. n=2K, K ∈ ℕ*

f : [0,∞) → [0,∞), f(x)=^2K√x,  funcția radical de ordin par

Ex. K=1 => 2K=2 => f(x)=√x

Proprietățile funcției

1. A=[0,∞) , B=[0,∞)
2. Gf Ⴖ O_x= { O(0,0) } Gf Ⴖ O_y= { O(0,0) }
3. f(x)=0 pentru x=0 f(x) > 0 pentru x ∈ (0,∞)
4. f este strict crescătoare pe [0,∞)
5. f nu este nici pară, nici impară pe [0,∞)
6. f nu este periodică
7. f este concavă pe [0,∞)
8. f este injectivă pe [0,∞)
9. f este surjectivă pe [0,∞)
10. f este bijectivă pe [0,∞)
11. f este inversabilă pe [0,∞)

f^-1: [0,∞) → [0,∞) , f^-1(x)=x^2K

2. n=2K+1 , K ∈ ℕ*

f: ℝ → ℝ, f(x)=^2K+1√x

Ex. K=1 => n=3 => f : ℝ → ℝ , f(x)= ³√x

Proprietățile funcției:

1. A=ℝ , B=ℝ
2. Gf Ⴖ O_x = { O(0,0) } Gf Ⴖ O_y = { O(0,0) }
3. f(x) ≥ 0 , pentru x ∈ [0,∞) f(x) ≤ 0 , pentru x ∈ (-∞,0]
4.  f este strict crescătoare pe ℝ
5. f este impară pe ℝ
6. f nu este periodică
7. f este concavă pe [0,∞) f este convexă pe (-∞,0]
8. f este injectivă pe ℝ
9. f este surjectivă pe ℝ
10. f este bijectivă pe ℝ
11. f este inversabilă pe ℝ

f^-1 : ℝ → ℝ , f^-1(x)= x^2K+1, K ∈ ℕ*

3. Funcția exponențială

f : A → B , f(x)=a^x, a>0, a≠1, funcția exponențială

1. a=baza supraunitară, a>1

f : ℝ → [0,∞) , f(x)=2^x

Proprietatile functiei:

1. f : A → B,  A=ℝ , B=[0,∞)
2. Gf Ⴖ O_x= ∅ Gf Ⴖ O_y= { A(0,1) }
3. f(x)≠0, a>1, este pozitivă pe ℝ
4. f este strict crescătoare pe ℝ
5. y=0, asimptotă orizontală spre -∞
6. f nu este nici pară, nici impară
7. f nu este periodică
8. f este injectivă pe ℝ
9. f este surjectivă pe ℝ
10. f este bijectivă pe ℝ
11. f este inversabilă pe ℝ

f^-1 : [0,∞) → ℝ , f^-1(x)=log_a x

2. a = bază subunitară, 0<a<1

f : ℝ → (0,∞), f(x)=a^x, 0<a<1, funcție exponențială cu bază subunitară

Ex. a=1/2 => f : ℝ → (0,∞), f(x)=(1/2)^x

Proprietățile funcției:

1. A = ℝ , B = (0,∞)
2. Gf Ⴖ O_x = ∅ Gf Ⴖ O_y = { A(0,1) }
3. f(x)>0, (∀) x ∈ ℝ => f este pozitivă pe ℝ
4. f este strict descrescătoare  pe ℝ
5. y=0, asimptotă orizontală spre ∞
6. f nu este nici pară, nici impară
7. f nu este periodică
8. f este convexă pe ℝ
9. f este injectivă pe ℝ
10. f este surjectivă pe ℝ
11. f este bijectivă pe ℝ
12. f este inversabilă pe ℝ

f^-1 : (0,∞) → ℝ , f^-1(x)= log_a x

4. Functia logaritmică

f : (0,∞) → ℝ , f(x)=log_a x , funcția logaritmică

1. a>1 (bază supraunitară)

Ex.   a=2 => f : (0,∞) → ℝ , f(x)= log₂ x

Proprietățile funcției:

1. A= (0,∞) , B = ℝ
2. Gf Ⴖ O_x = { A(1,0) } Gf Ⴖ O_y = ∅
3. f(x) > 0 , (∀) x ∈ ℝ => f pozitivă pe (0,∞) f(x) < 0 => asimptotă verticală la graficul funcției
4. f este strict crescătoare pe (0, ∞)
5. f nu este nici pară, nici impară
6. f nu este periodică
7. f este concavă pe (0, ∞)
8. f este injectivă pe (0, ∞)
9. f este surjectivă pe (0,∞)
10. f este bijectivă pe (0,∞)
11. f este inversabilă pe (0,∞)

f^-1 : ℝ → (0,∞) , f^-1(x)= a^x, a>1

2. a<1 , 0<a<1 , a=bază subunitară

Ex.  a=1/2 => f : (0,∞) → ℝ , f(x)=log 1/2  x

Proprietățile funcției:

1. A = (0,∞) , B = ℝ
2. Gf Ⴖ O_x = { A(1,0) } Gf Ⴖ O_y = ∅
3. f(x)>0 , (∀) x ∈ (0,1) f(x)<0 , (∀) x ∈ (1,∞) f(x)=0 , x=1
4. f este strict descrescătoare pe (0,∞)
5. asimptotă verticală spre ∞
6. f nu este nici pară, nici impară
7. f nu este periodică
8. f este convexă pe (0,∞)
9. f este injectivă pe (0,∞)
10. f este surjectivă pe (0,∞)
11. f este injectivă pe (0,∞)
12. f este inversabilă pe (0,∞)

f^-1 : ℝ → (0,∞) , f^-1(x)= a^x

5. Funcția sinus

 Funcția f:R-> [-1,1], f_(x)= sin x este o funcție periodică

Proprietăți

5. Funcția cosinus

Funcția f:R-> [-1,1], f_(x)= cos x este o funcție periodică

Proprietăți

6. Funcția tangentă

Funcția f:D->R ; f_(x)=tg_x

tg_(x)=sin_(x)/cos_(x)  D=R/{(2k+1) π/2; k∈Z}

                               f:R/{(2k+1) π/2; k∈Z}->R

Proprietăți

7. Funcția arcsinus

Proprietăți:

A=[-1;1]

1. Gf ∩ Ox={O(0;0)}
2. Gf ∩ Oy={O(0;0)}
3. f(x)≥0 pt x∈[0;1] f(x)≤0 pt x∈[-1;0]
4. f(x) este strict crescătoare pe [-1;1];
5. f(x) este funcție impară pe [-1;1];
6. f(x) nu este periodică pe A;
7. f(x) este convexă pe [0;1];
8. f(x) este concavă pe [-1;1];
9. f(x) este injectivă pe A;
10. f(x) este surjectivă pe A;
11. f(x) este bijectivă pe A;
12. f(x) este inversabilă pe A;

8. Funcția arccosinus

• f:[-1;1] → [0;π], f(x)=arccos x

arccos x + arccos (-x)=π

arccos (-x) = π – arccos x, (∀)x[-1;1]

Proprietățile funcției arccosinus:

1. A=[-1;1]; B=[0;π]
2. Gf ∩ Ox= {A(1;0)} Gf ∩ Oy= {B(0;2)}
3. f(x)>0 pt x∈[-1;1]
4. f(x) este strict descrescătoare pe [-1;1]
5. f(x) nu este impară pe [-1;1], nici pară;
6. f(x) nu este periodică pe [-1;1]
7. f(x) este convexă pe [-1;f(x) este concavă pe [0;1]
8. f(x) este injectivă pe [-1;1]
9. f(x) este surjectivă pe [-1;1]
10. f(x) este bijectivă pe [-1;1]
11. f(x) este inversabilă pe [-1;1]

f: [-1;1] → [0;π], f(x) = arccos x

f^-1: [0;π] → [-1;1], f^-1(x) = cos x

9. Funcția arctangentă

Proprietăți ale funcției arctangentă:

1. A=ℝ B=(-π/2; π/2)
2. Gf ∩ Ox = {O(0;0)} Gf ∩ Oy = {O(0;0)}
3. f(x)>0 pt x∈ (0;∞) f(x)<0 pt x∈ (-∞;0) f(x)=0, x=0
4. f(x) este convexă pt x∈ (-∞;0) f(x) este concavă pt x∈ (0;∞)
5. f(x) este funcție impară pe ℝ
6. f(x) nu este periodică pe ℝ
7. y=–π/2 A.O spre -∞;
8. y=π/2A.O spre +∞;
9. f(x) este strict crescătoare pe ℝ
10. f(x) este injectivă pe ℝ
11. f(x) este surjectivă pe ℝ
12. f(x) este bijectivă pe ℝ
13. f(x) este inversabilă pe ℝ

f: ℝ→ (-π/2; π/2), f(x) = arctg x

f^-1: (-π/2; π/2) → ℝ, f^-1(x) = tg x

10. Funcția arccotangentă

f: ℝ→ (0;π), f(x) = arcctg x

arcctg x + arcctg(-x) = π, (∀) x∈ ℝ

arcctg(-x) = π – arcctg x, (∀) x∈ ℝ

ctg: (0;π) → ℝ

    ctg (arcctg x) = x, (∀) x∈ ℝ

    arcctg (ctg x) = x, (∀) x∈ (0;π)

Proprietăți ale funcției arccotangentă:

1. A= ℝ
   B=(0;π)
   2. Gf ∩ Ox = ∅
   Gf ∩ Oy = {A(0;π/2)}
   3. f(x)>0, (∀) x∈ ℝ
   4.f(x) este strict descrescătoare pe ℝ
   5.f(x) este concavă pt x∈(-∞;0)
   f(x) este convexă pt x∈(0;∞)
   6.f(x) nu este periodică pe ℝ
   7.f(x) nu este nici pară, nici impară
   8.y=0, A.O spre +∞
   y=π, A.O spre -∞
   9.f(x) este injectivă pe ℝ
   10.f(x) este surjectivă pe ℝ
   11.f(x) este bijectivă pe ℝ
   12.f(x) este inversabilă pe ℝ

f: ℝ→ (0;π), f(x) = arcctg x

f^-1: (0;π) → ℝ, f^-1(x) = ctg x

ECUATII

Ecuatii exponentiale

1. a ^f(x) = a ^g(x) a>0, a≠1

a ^f(x) = a ^g(x)⇒ f(x)=g(x)

• Exemplu:

2x+1=23x⇒x+1=3x⇒x=21

 

2. a ^f(x) = b| log_ab

log_aa ^f(x)=log_ab

f(x)log_aa=log_ab

f(x)=log_ab

• Exemplu:

3^2x−1=81

log₃​ 3^2x−1=log₃​ 81

2x−1=log₃​ 81⇒2x−1=log₃​ 3⁴=4⇒2x=5⇒x=5/2

 

3. a ^f(x) = b ^g(x)  b>0, b≠1

a ^f(x) = b ^g(x) | lg

 

4. m*a^2f(x)+n*a^f(x)+p=0, a>0, a≠1,m≠0, n,p ∈ ℝ

• Exemplu:

2⋅3^2x−5⋅3^x+2=0

y=3^x⇒3^2x=(3^x)²=y²

2y²−5y+2=0

Δ=(−5)²−4⋅2⋅2=25−16=9

y₁=(5+3)/4=2, y₂=(5-3)/4=1/2

3^x=2⇒x=log₃​ 2

3^x=​1/2⇒x=log₃​ 1/2

 

5. m*a^2f(x)+n*b^2f(x)+p*(a*b)^f(x)=0 a,b>0, a,b≠1, m,n,p ∈ ℝ, m≠0

m*a^2f(x)+n*b^2f(x)+p*(a*b)^f(x)=0 | (a*b)^f(x

m*(a/b)^f(x)+n*(b/a)^f(x)+p=0

Notam: (a/b)^f(x)=y

m*y+n*1/y +p=0

Rezolvam si aflam y.

 

6. m*a^f(x)+n*b^f(x)+p=0 a,b>0, m,n ∈ ℕ*, p ∈ ℝ

a*b=1⇒b=1/a

• Exemplu:

3⋅2^x+4⋅(1/2​)^x=10

(1/2)^x=2^−x

3⋅2^x+4⋅2^−x=10

y=2^x⇒ 2^−x=1/y ⇒ 3y+4/y​=10

3y²+4=10y⇒3y²−10y+4=0

Δ=(−10)²−4⋅3⋅4=100−48=52⇒ y=(5+/-√13)/3

2^x=y⇒ x=log₂​ (5+/-√13)/3

 

7.Ecuatie exponentiala cu solutie unica

2^x +7^x  -9^x =0 |:9^x

(2/9)^x+(7/9)^x-1=0

(2/9)^x+(7/9)^x=1

Fie: f : ℝ –>(0;∞), f(x)= (2/9)^x+(7/9)^x, suma a 2 functii exponentiale cu baza subunitara

⇒ f este suma a 2 functii strict descrescatoare ⇒ f este strict descrescatoare ⇒ f este injectiva pe ℝ ⇒ f are solutie unica

X=1 ⇒ f(1)= (2/9)¹+(7/9)¹=2/9+7/9=1 (A)

⇒x=1, unica solutie a ecuatiei 2^x +7^x  -9^x =0

 

Ecuatii logaritmice

-sunt ecuatiile in care necunoscuta apare prin intermediul logaritmului

-pentru a rezolva ecuatiile logaritmice procedam astfel:

• Punem C.E
• Rezolvarea propiu-zisa
• Verificarea solutiilor

1.log_a f(x)=log_a g(x)   a>0,a≠1

 

2.log_f(x) g(x)=a  ,a ∈ R

 C.E  f(x)>0 , f(x) ≠1 , g(x)>0

 log_f(x) g(x)=a⇒g(x)=f(x)^a

 

3.log_f(x) g(x)=log_f(x) h(x)

 C.E f(x)>0 , f(x) ≠1 , g(x)>0 , h(x)>0

 Log_f(x) g(x)=log_f(x) h(x) ⇒g(x)=h(x)

 

!log_a x=y⇒x=a^y

 log_a 1=0

 log_a A-log_b B=log_a A/B

 

Ecuatii trigonometrice

I. Ecuatii trigonometrice fundamentale

• sin x=a ,a∈ [-1,1]

sin x=a ⇒x∈ {(-1)^k arcsin a+kπ | k∈ Z}

• cos x=a ,a∈ [-1,1]

Daca a ∉ [-1,1] ⇒x∈ Ø

cos x=a⇒x∈{±arccos a+2kπ | k∈ Z}

• tg x=a ,a∈R

tg x=a⇒x∈{arctg a+ kπ | k∈ Z}

• ctg x=a ,a∈R

ctg x=a⇒x∈{arcctg a+ kπ | k∈ Z}

 

II.

• sin f(x)=sin g(x)

M₁ : sin f(x)-sin g(x)=0

        Transformam suma in produs

M₂ : sin f(x)=sin g(x) ⇒f(x)∈{(-1)^kg(x)+ kπ | k∈ Z}

• cos f(x)=cos g(x) ⇒f(x)∈{ ±g(x)+ 2kπ | k∈ Z}
• tg f(x)=tg g(x) ⇒f(x)∈{ g(x)+ kπ | k∈ Z}
• ctg f(x)=ctg g(x) ⇒f(x)∈{ g(x)+ kπ | k∈ Z}

 

III. Ecuatiile trigonometrice liniare in sin x si cos x

a*sin x+b*cos x=c   a,b,c ∈ R  , a²+b²≠0

M₁ : t=tg x/2

         sin x=2t/1+t²

          cos x=1-t²/1+t²

        inlocuim in ecuatie

        rezolvam ecuatia obisnuita

        t=tg x/2⇒tg x/2=t

 

Metode pentru rezolvarea ecuatiei liniare

1. Metoda unghiului auxiliar

√3sin x+cos x=1

√3/2sin x+1/2cos x=1/2

cos π/6 sin x+sin π/6 cos x=1/2

sin (x+ π/6)=1/2

x+ π/6∈{(-1)^k arcsin ½+kπ | k∈ Z}

x∈{(-1)^k kπ | k∈ Z}

  S: {(-1)^k kπ | k∈ Z}

 

2. Metoda ridicarii la patrat

sin x+2cos x=2

sin x=2-cosx

sin²x=4-8cosx+4cos²x

1-cos²x=4-8cosx+4cos²x

5cos²x-8cosx+3=0

Δ=b²-4ac=64-60=4  ,t₁=3/5

                                    ,t₂=1

   1.cos x=3/5⇒x∈{ arccos 3/5 +2kπ | k∈ Z}

   2.cos x=1⇒x∈{ arccos 1+2kπ | k∈ Z}

                       x∈{2kπ | k∈ Z}

     S: { arccos 3/5 +2kπ | k∈ Z}∪{2kπ | k∈ Z}

 

3. Metoda sistemului

{sin x+2cosx=2⇒sin x=2-2cosx

{sin²x+cos²x=1

sin²x=(2-2cosx)²=4-8cos x+4cos²x

4-8cos x+4cos²x+cos²x=1

5cos²x-8cos x+3=0

cos x₁=3/5

cos x₂=1

  S: { arccos 3/5 +2kπ | k∈ Z}∪{2kπ | k∈ Z}

 

4. Metoda omogenizarii

sin x+cos x=1

2sin x/2 cos x/2+cos 2x/2-sin 2x/2=cos2x/2+sin 2x/2

2sin 2x/2-2sin x/2 cos x/2=0

sin x/2(sin x/2-cosx/2)=0

sin x/2=0⇒x∈{2kπ | k∈ Z}

sin x/2=1⇒x/2∈{(-1)^kπ/2+kπ | k∈ Z}

   S: {2kπ | k∈ Z}∪{(-1)kπ/2+kπ | k∈ Z}

Elevi: Catană Mara, Ionescu Sandra, Roșu Bianca, Cucu Teodora, Dumitrescu Anastasia, Chirilă Denisa